TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

 

 TEORIA GENERALIZADA GRACELI DA ABSORÇÃO, EMISSSÃO, TRANSIÇÃO, TRANSFERÊNCIA DE ENERGIA E MOMENTUN, TUNELAMENTO, DIFUSÃO, REFRAÇÃO, RETRAÇÃO, FUSÕES, DILATAÇÃO,  E OUTROS.

E  PONTOS CRÍTICOS DE FUSÕES, EBULIÇÕES, MUDANÇAS DE FASES, ENTROPIAS, ENTALPIAS, ETC.

ACELERAÇÕES DE FENÔMENOS TERMICOS, RADIAÇÕES, E DILATAÇÕES., ETC.

ISTO PARA TODOS OS FENÔMENSO DENTRO DAS FÍSICAS E QUÍMICAS.

SENDO QUE CADA UM DESTES FENÔMENOS CONTÉM RELAÇÕES ENTRE SI E CONFORME OS TIPOS DE MATERIAIS E MESMO NUM MESMO TIPO DE  MATERIAL VARIA DE UNS PARA OUTROS, .

EXEMPLO.

COMO DE FERRO PARA ALUMÍNIO, E DE ALGUNS ALUMÍNIOS PARA OUTROS ALUMÍNIOS,

O MESMO PARA TODOS OS TIPOS DE MATERIAIS E ELEMENTOS QUÍMICO, MOLÍCULAS E PARTÍCULAS.

E CONORME O SISTEMA DO INFINITO-DIMENSIONAL GRACELI.

OU SEJA, UM RELATIVISMO QUÍMICO E FÍSICO QUÍMICO.

 RELATIVIDADE DIMENSIONAL GRACELI.

 

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

outubro 27, 2021

TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL.

ONDE CADA INFINITA PARTÍCULA TEM INFINITAS DIMENSÕES FORMANDO UM SISTEMA GERAL UNIFICATÓRIO COM PADRÕES DE VARIAÇÕES CONFORME AS PARTÍCULA QUE NO CASO PASSAM A REPRESENTAR DIMENSÕES, PADRÕES DE ENERGIAS E E PADRÕES POTENCIAIS DE TRANSFORMAÇÕES, INTERAÇÕES CATEGORIAS FÍSICAS DE GRACELI E OUTROS.

NA TEORIA DAS CORDAS PARTÍCULAS SÃO REPRESNTADAS POR VIBRAÇÕES.

JÁ NA TEORIA GRACELI GERAL E UNIFICATÓRIA DIMENSIONAL. NO CASO SÃO REPRENTADOS POR DIMENSÕES FÍSICAS E QUÍMICA DE GRACELI.

TEORIA FÍSICA DE GRACELI GENERALIZADA ENTRE SDCTIE , TENSORES DE GRACELI, NO :

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

setembro 20, 2021

 sistema indeterminístico Graceli ;

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL = sdctie graceli, sistema de infinitas dimensões +

SISTEMA DE TENSOR G+ GRACELI , ESTADOS FÍSICOS -QUÍMICO-FENOMÊNICO DE GRACELI CATEGORIAS E Configuração eletrônica dos elementos químico

SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

 SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL.

COM  ELEMENTOS DO SISTEMA SDCTIE GRACELI, TENSOR G+ GRACELI CAMPOS E ENERGIA, E ENERGIA, E CONFIGURAÇÕES ELETRÔNICAS DOS ELEMENTOS QUÍMICO, E OUTRAS ESTRUTURAS.

ESTADO E NÚMERO QUÂNTICO, NÍVEIS DE ENERGIA DO ÁTOMO, FREQUÊNCIA. E OUTROS.

  TENSOR G+ GRACELI, SDCTIE GRACELI, DENSIDADE DE CARGA E DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIA, NÚMERO E ESTADO QUÂNTICO. + POTENCIAL DE SALTO QUÂNTICO RELATIVO AOS ELEMENTOS QUÍMICO COM O SEU RESPECTIVO  E ESPECÍFICO NÍVEL DE ENERGIA.

SISTEMA MULTIDIMENSIONAL  GRACELI

ONDE A CONFIGURAÇÃO ELETRÔNICA TAMBÉM PASSA A SER DIMENSÕES FÍSICO-QUÍMICA DE GRACELI.

Configuração eletrônica dos elementos químicos. [parte do sistema Graceli infinito-dimensional].

DENTRO DE UMA CONCEPÇÃO QUE CADA ÁTOMO É FORMADO DE INFINITAs OUTRAS PARTÍCULAS, E COM INFINITAS OUTRAS ENERGIAS, INTERAÇÕES, TRANSFORMAÇÕES, E OUTROS FENÔMENOS, LOGO SE TEM EM CADA ÁTOMO E OU ELEMENTO QUÍMICO INFINITAS OUTRAS DIMENSÕES. COM INFINITAS VARIAÇÕES NAS CATEGORIAS DE GRACELI , QUE  SÃO: OS POTENCIAIS, TIPOS, NÍVEIS, E TEMPO DE AÇÃO ESPECÍFICO  DO FENÔMENO.

ONDE NOS SISTEMAS  DE GRACELI CATEGORIAS,  FENÔMENOS, ESTADOS, ENERGIAS, ESTRUTURAS, E OUTROS SÃO TIPOS E FORMAS DE DIMENSÕES..

FLUXOS ALEATÓRIOS DE ENERGIAS ELÉTRICA,  E FLUXOS DE SALTOS QUÂNTICOS INFINITESIMAIS E INDETERMINADOS.

SENDO QUE VARIAM CONFORME O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL.

O SISTEMA INFINITO-DIMENSIONAL DE GRACELI, ASSIM, COMO O SISTEMA SDCTIE GRACELI [SISTEMA ENVOLVENDO DIMENSÕES DE GRACELI, E SUAS CATEGORIAS, ESTADOS FÍSICOS E ESTADOS FÍSICOS DE GRACELI, TRANSFORMAÇÕES E INTERAÇÕES], E OS TENSORES DE GRACELI TEM AÇÃO EM TODA A FÍSICA EM TODOS OS SEUS RAMOS E E DIVISÕES, ASSIM, COMO A QUÍMICA E A BIOLOGIA, QUE TODOS ESTES SE FUNDAMENTEM EM ENERGIAS, ONDAS, ESTRUTURAS, CATEGORIAS, ESTADOS, ESPECTROS, DIMENSÕES, E OUTROS.

OU SEJA, DENTRO DE UM SISTEMA GERAL DE GRACELI TODA FÍSICA DAS ESTRTURUAS, ENERGIAS, ONDAS, DIMENSÕES, ESTADOS, E CATEGORIAS. ESTÃO INSERIDOS NESTES SISTEMA DE GRACELI.

dentro de uma concepção que a matéria é infinitésima em termos de tipos e ínfimos diâmetro, logo esta diferenciação faz com que cada ínfima e infinitésima parte tenha ações, transformações, interaçõs, potenciaidades, e outros diferentes de uma das outras. logo se tem infinitas dimensões para cada ínfima e infinitésima parte e tipo.

VEJAMOS;

Em mecânica estatística, a estatística Maxwell–Boltzmann descreve a distribuição estatística de partículas materiais em vários estados de energia em equilíbrio térmico, quando a temperatura é alta o suficiente e a densidade é baixa suficiente para tornar os efeitos quânticos negligenciáveis. A estatística Maxwell–Boltzmann é consequentemente aplicável a quase qualquer fenômeno terrestre para os quais a temperatura está acima de poucas dezenas de kelvins.^[1][2]

O número esperado de partículas com energia ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ para a estatística de Maxwell–Boltzmann é ${\displaystyle N_{i}}$ onde:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}{Z}}}$

////

sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

onde:

• ${\displaystyle N_{i}}$ é o número de partículas no estado i
• ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ é a energia do estado i-ésimo
• ${\displaystyle g_{i}}$ é a degenerescência do nível de energia i, o número de estados dos partículas (excluindo o estado de "partícula livre") com energia ${\displaystyle \epsilon _{i}}$
• ${\displaystyle \mu }$ é o potencial químico
• ${\displaystyle k}$ é a constante de Boltzmann
• ${\displaystyle T}$ é a temperatura absoluta
• ${\displaystyle N}$ é o número total de partículas

${\displaystyle N=\sum _{i}N_{i}\,}$

///

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• ${\displaystyle Z}$ é a função partição

${\displaystyle Z=\sum _{i}g_{i}e^{-\epsilon _{i}/kT}}$

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• ${\displaystyle e^{(...)}}$ é a função exponencial, sendo e o número de Euler

A distribuição de Maxwell-Boltzmann tem sido aplicada especialmente à teoria cinética dos gases, e outros sistemas físicos, além de em econofísica para predizer a distribuição da renda. Na realidade a distribuição de Maxwell-Boltzmann é aplicável a qualquer sistema formado por N "partículas" ou "indivíduos" que interacambiam estacionariamente entre si uma certa magnitude ${\displaystyle m}$ e cada um deles têm uma quantidade ${\displaystyle m_{i}}$ da magnitude ${\displaystyle m}$ e ao longo do tempo ocorre que ${\displaystyle \sum _{i=1}^{N}M=m_{1}+m_{2}+...+m_{N}}$.

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Limites de aplicação

Para um sistema de partículas quânticas, a hipótese de que ${\displaystyle N_{i}}$ seja substancialmente menor que ${\displaystyle g_{i}}$ para os estados diferentes do fundamental em geral não se cumprirá e é necessário recorrer-se à estatística de Bose-Einstein se as partículas são bosônicas ou à estatística de Fermi-Dirac se as partículas são fermiônicas.

As estatísticas de Bose–Einstein e Fermi–Dirac podem ser expressas como:

${\displaystyle N_{i}={\frac {g_{i}}{e^{(\epsilon _{i}-\mu )/kT}\pm 1}}}$

///

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Assumindo que o valor mínimo de ${\displaystyle \epsilon _{i}}$ é bastante pequeno, se pode verificar que a condição na qual a distribuição de Maxwell-Boltzmann é válida é quando se cumpre que:

${\displaystyle e^{-\mu /kT}\gg 1}$

///

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Para um gás ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvimento da equação de Sackur–Tetrode para demonstrar que:

${\displaystyle \mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)}$

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onde ${\displaystyle E}$ é a energia interna total, ${\displaystyle S}$ é a entropia, ${\displaystyle V}$ é o volume, e ${\displaystyle \Lambda }$ é o comprimento de onda térmico de de Broglie. A condição de aplicação para a distribuição Maxwell-Boltzmann em um gás ideal resulta:

${\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.}$

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Termodinâmica estatística ou mecânica estatística^{[notas 1]} é um ramo da física que une as propriedades macroscópicas e microscópicas da matéria demonstrando e interpretando atomicamente alguns porquês da termodinâmica como trabalho, calor, energia livre e entropia. Por trabalhar com um número extenso de entidades microscópicas (átomos, moléculas ou íons), faz uso de mecânica clássica, mecânica quântica e do ferramental matemático da estatística, esta última utilizada principalmente para determinar os valores médios das populações.

A quantidade requerida de informações para descrever uma partícula, átomo, molécula ou íon (no contexto da mecânica clássica) implica o estabelecimento de 6 coordenadas para cada uma das entidades microscópicas (3 posições e 3 velocidades), o que representa um número expressivo de dados quando levamos em conta um número relativamente grande de entidades como um mol (6,022x10²³), por exemplo.

A termodinâmica estatística possui uma capacidade de previsão das grandezas macroscópicas por trabalhar com os dados espectroscópicos de moléculas individuais, apresentando assim uma vantagem nesse quesito com relação à termodinâmica clássica. Ambas, porém são regidas pela segunda lei da termodinâmica por meio da entropia. No entanto, a entropia em termodinâmica clássica só pode ser conhecida empiricamente, enquanto que na mecânica estatística, é uma função da distribuição do sistema nos seus microestados.

A termodinâmica estatística é então, uma ponte que explica a termodinâmica clássica (que analisa a parte sensível aos sentidos, ou seja, pressão, temperatura...) utilizando-se da mecânica quântica (que trabalha com a parte atômica, ou seja, colisões intermoleculares, velocidades dos átomos, equipartição da energia...) da mecânica clássica (de onde vem a definição de momento, força, trabalho) e da estatística (utilizada para se obter sistemas simplificados sem a perda da confiabilidade).

Índice

• 1Aplicações
  • 1.1Dedução da lei dos gases
  • 1.2Transições de fase
  • 1.3Evaporação
  • 1.4Transferência de calor
• 2História
• 3Introdução
• 4Distribuição de Boltzmann
• 5Postulado fundamental
• 6Ensembles canônicos
• 7Passeios aleatórios
• 8Termodinâmica clássica versus termodinâmica estatística
• 9Grandezas macroscópicas e grandezas microscópicas
• 10Ver também
• 11Notas
• 12Referências
• 13Bibliografia
• 14Leituras adicionais
• 15Ligações externas

Aplicações

Representação esquemática do comportamento de um gás ideal.

A termodinâmica estatística, pode ser usada para explicar diversos fenômenos físicos do cotidiano, dentre os quais a dedução da lei dos gases ideais, a transferência de calor entre dois corpos e a troca de estado físico dos materiais, destacando aqui a evaporação.

Dedução da lei dos gases

Imagine uma caixa cúbica de lado ${\displaystyle L}$ contendo ${\displaystyle N}$ moléculas de um gás dentro dela. Considere o gás como ideal (não há interações moleculares) e, num primeiro momento, analise apenas uma molécula desse gás, onde ${\displaystyle m}$ e ${\displaystyle {\vec {v}}}$ são respectivamente a massa e a velocidade da molécula. Essa molécula realiza apenas colisões elásticas com as paredes (a energia do sistema é conservada e a cada colisão apenas uma componente da velocidade é alterada). Nesse caso, a cada colisão, teremos uma variação de momento dado por:

${\displaystyle \Delta \,{\vec {p}}_{x}=-2m{\vec {v}}_{x}\,\!}$

///

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A molécula então, choca-se várias vezes com uma certa parede, sendo que ${\displaystyle \Delta \,t}$ é o intervalo de tempo para que a molécula consiga se deslocar até a parede oposta e voltar para a parede em questão, ou seja, percorrer uma distância de ${\displaystyle 2L}$. Nesse caso, o intervalo de tempo é igual a distância percorrida dividida pela velocidade.

${\displaystyle {\frac {\Delta \,{\vec {p}}_{x}}{\Delta t}}={\frac {2m{\vec {v}}_{x}}{\frac {2L}{{\vec {v}}_{x}}}}={\frac {m({\vec {v}}_{x})^{2}}{L}}}$

///

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Da segunda lei de Newton, sabemos que a força é a derivada do momento em relação ao tempo. Nesse caso, a força que é transferida para a parede é igual a soma da contribuição do momento de cada molécula, levando em conta a que elas podem ter velocidades diferentes. Sabemos que a pressão ${\displaystyle P}$ é igual a força ${\displaystyle {\vec {F}}}$ dividida pela área da parede ${\displaystyle L^{2}}$. Assim usando a equação anterior, temos que o somatório das ${\displaystyle N}$ moléculas será:

${\displaystyle P={\frac {{\vec {F}}_{x}}{L^{2}}}={\frac {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}{L^{2}}}={\frac {{\frac {m({\vec {v}}_{x1})^{2}}{L}}+{\frac {m({\vec {v}}_{x2})^{2}}{L}}+\cdots +{\frac {m({\vec {v}}_{xN})^{2}}{L}}}{L^{2}}}={\frac {m}{L^{3}}}\sum _{i=1}^{N}({\vec {v}}_{xi)^{2}}}$

///

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Sendo ${\displaystyle {N}_{a}}$ a constante de Avogadro, podemos fazer a substituição ${\displaystyle N=n{N}_{a}}$. O somatório então pode ser visto como ${\displaystyle n{N}_{a}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$, onde ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}_{xmed}}$ é o valor médio do quadrado da componente x da velocidade de todas as moléculas:

${\displaystyle P={\frac {nm{N}_{a}}{L^{3}}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$

///

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Além disso, ${\displaystyle m{N}_{a}}$ é igual a massa molar ${\displaystyle M}$ do gás e ${\displaystyle L^{3}}$ é igual ao volume do gás.

${\displaystyle P={\frac {nM}{V}}{\vec {v^{2}}}_{xmed}}$

///

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Podemos pensar agora, que para qualquer molécula ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}={v^{2}}_{x}+{v^{2}}_{y}+{v^{2}}_{z}}$. Isso é válido pois como possuimos muitas moléculas e elas se movem em direções aleatórias os valores médios dos quadrados das componentes da velocidade são iguais, de modo que :${\displaystyle {\vec {v}}_{x}={\frac {1}{3}}{\vec {v}}}$ e então:

${\displaystyle P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{med}}{3V}}}$

///

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Substituímos então ${\displaystyle {\vec {v^{2}}}_{med}}$ pela velocidade quadrática média, definida como ${\displaystyle {\vec {v}}_{rms}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}}$, 

${\displaystyle P={\frac {nM{\vec {v^{2}}}_{rms}}{3V}}={\frac {nM\left({\sqrt {\frac {3RT}{M}}}\,\right)^{2}}{3V}}}$

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Isolando ${\displaystyle PV}$ é fácil ver que a lei de um gás ideal é então:

${\displaystyle P\cdot V=n\cdot R\cdot T\,\!}$

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onde:${\displaystyle P}$ é a pressão, ${\displaystyle V}$ é o volume, ${\displaystyle n}$ é o número de mols, ${\displaystyle R}$ é a constante universal dos gases perfeitos e ${\displaystyle T}$ a temperatura.^[1]

Transições de fase

As transições de fase dependem diretamente das forças intermoleculares (que são de natureza elétrica). A módulo da força de atração é o que determina em que fase a amostra se encontra. Na fase gasosa, as moléculas estão muito separadas e com uma energia cinética quadrática média muito alta, logo as forças de atração são fracas. Na fase líquida e sólida, diminuí-se o espaço entre as moléculas, logo tem-se um aumento das interações de atração, o que faz com que as moléculas se movam cada vez menos diminuindo sua energia cinética.

Segundo o teorema da equipartição da energia, a temperatura é proporcional à energia média de cada grau de liberdade, logo aumentando a temperatura (e mantendo a pressão constante), aumentamos a energia cinética da amostra, o que favorece o afastamento das moléculas. Esse aumento nos módulos das velocidades é similar a distribuição de Maxwell, logo conseguimos inferir sobre a evaporação através dessa distribuição.

Evaporação

Considere uma molécula que está com uma energia cinética maior do que a energia da tensão superficial do líquido ao qual faz parte. Nesse caso, ao chegar próximo a superfície do líquido, ela irá escapar e nesse caso, diminuir a energia cinética média do sistema, ou seja, o sistema irá perder temperatura em decorrência da evaporação. Pela distribuição de Maxwell, temos moléculas com velocidades de zero a infinito independentemente da temperatura do sistema, logo a evaporação sempre existirá. Contudo, se aumentarmos a energia cinética quadrática média, aumentaremos a probabilidade de encontrarmos moléculas com energia suficiente e a direção correta para escapar do líquido.^[2]

Transferência de calor

Um processo similar pode explicar a troca de calor entre dois corpos. Imagine um corpo A quente e um corpo B frio. Colocando as duas superfícies em contato, as moléculas da superfície de A colidirão com as moléculas da superfície de B, transmitindo energia, valendo a recíproca. Como a energia cinética quadrática média em A é maior, é plausível pensarmos que as moléculas de A cederão energia para as moléculas de B, e nesse processo A esfrie enquanto B aquece. O ar é um bom isolante térmico pois sendo um gás contém poucas moléculas em comparação com os outros estados físicos, logo a taxa de transferência de energia é menor (considerando um sistema sem convecção).

História

Folha de rosto da edição de 1738 de Hydrodynamica

Em 1738, o físico e matemático holandês Daniel Bernoulli publicou Hydrodynamica que estabeleceu a base da teoria cinética dos gases. Em seu trabalho, Bernoulli postulou o argumento, ainda utilizado nos dias de hoje, que afirma que a energia cinética das colisões moleculares dos gases (constituídos de um grande número de moléculas que se movem em todas as direções), é a pressão do gás que sentimos, e o que experimentamos como o calor também é energia cinética do movimento molecular.

Em 1859, depois de ler um artigo sobre difusão das moléculas de Rudolf Clausius, o físico escocês James Clerk Maxwell formulou a distribuição de Maxwell para velocidades moleculares, que mostra a proporção de moléculas com uma certa velocidade em um certo espaço. Esta foi a primeira utilização da estatística na física.^[3] Cinco anos mais tarde, em 1864, Ludwig Boltzmann, um jovem estudante de Viena, utilizou os artigos de Maxwell como inspiração para desenvolver um tema adicional, durante sua vida.

Assim, os fundamentos da termodinâmica estatística foram estabelecidas no final de 1800 por aqueles que, como Maxwell, Boltzmann, Max Planck , Clausius, e Josiah Willard Gibbs , começaram a aplicar estatística na teoria quântica atômica para corpos de gases ideais. Predominantemente, no entanto, foram Maxwell e Boltzmann, trabalhando de forma independente, que chegaram a conclusões semelhantes quanto à natureza estatística dos corpos gasosos. No entanto, deve-se considerar Boltzmann como o "pai" da termodinâmica estatística com sua derivação em 1875 da relação entre entropia S e multiplicidade Ω, apresentando o número de arranjos microscópicos que produzem o mesmo estado macroscópico para um determinado sistema.^[4]

Ludwig Boltzmann então publicou em 1896 o artigo Lectures on Gas Theory.^[5] contendo mais de 2000 páginas interpretando termodinâmica estatística e os seguintes fatores H-teorema, teoria do transporte, equilíbrio térmico, e equação de estado dos gases. O termo "termodinâmica estatística" foi proposto para utilização na termodinâmica pelo físico e químico americano J. Willard Gibbs em 1902. Segundo Gibbs, o termo "estatística", i.e. mecânica estatística, foi usado pela primeira vez pelo físico escocês James Clerk Maxwell em 1871. "Mecânica probabilística" pode parecer um termo mais apropriado, mas hoje em dia, "mecânica estatística" está firmemente enraizada.^[6]

Introdução

O problema essencial na termodinâmica estatística é o de calcular a distribuição de uma dada quantidade de energia E em relação aos N sistemas.^[7] Enquanto que seu objetivo se foca em compreender e interpretar as propriedades macroscópicas dos materiais em termos das propriedades das suas partículas constituintes e das interações entre elas. Isso se dá através da ligação entre funções termodinâmicas e as equações da mecânica quântica. Três quantidades centrais em termodinâmica estatística são o teorema do limite central o fator de Boltzmann e a função de partição.

A definição mais importante de um sistema termodinâmico é a perspectiva da chamada interpretação estatística da entropia, que é definida como:

${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega \!}$

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onde k_B é constante de Boltzmann 1.38066×10⁻²³ J K⁻¹ e Ω é o número de microestados correspondentes à observação do macroestado.

Esta equação só é válida se cada microestado é igualmente acessível (cada microestado tem igual probabilidade de ocorrência).

Distribuição de Boltzmann

Se um sistema for grande podemos utilizar a distribuição de Boltzmann, que é um resultado aproximado dado por:

${\displaystyle n_{i}\propto \exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right),\,}$

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onde n_i representa o número de partículas ocupando um estado de energia i ou o número de microestados ocupando o macroestado i; U_i é a energia potencial do estado i; T é a temperatura; e k_B é a constante de Boltzmann.

Se N é o número total de partículas ou microestados, a função distribuição densidade de probabilidade segue:

${\displaystyle \rho _{i}\equiv {\frac {n_{i}}{N}}={\frac {\exp \left(-{\frac {U_{i}}{k_{B}T}}\right)}{\sum _{j}\exp \left(-{\frac {U_{j}}{k_{B}T}}\right)}},}$

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onde o denominador é a soma de todos os níveis.

Postulado fundamental

O postulado fundamental em termodinâmica estatística é o seguinte:

Dado um sistema isolado em equilíbrio, o sistema tem a mesma probabilidade de estar em qualquer um de seus microestados acessíveis.

Este postulado é um pressuposto fundamental na mecânica estatística - afirma que um sistema em equilíbrio não tem qualquer preferência por qualquer um de seus microestados disponíveis. Dado Ω microestados com um certo nível de energia, a probabilidade de encontrar o sistema micro em particular é p = 1/Ω.

Este postulado é necessário porque permite concluir que, para um sistema em equilíbrio, o estado termodinâmico (macroestado), que pode resultar do maior número de microestados é também o macroestado mais provável do sistema.

O postulado é justificado em partes (para um sistema clássico) pelo Teorema de Liouville (mecânica hamiltoniana)), visto que, se a distribuição dos pontos do sistema através do espaço fásico é uniforme em algum momento, ele permanecerá assim em momentos posteriores.

Isso permite a definição da função de informação (no contexto da teoria da informação):

${\displaystyle I=-\sum _{i}\rho _{i}\ln \rho _{i}=\langle -\ln \rho \rangle .}$

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Quando todas as probabilidades ρ_i são iguais, I é máximo, e nós possuímos o mínimo de informações sobre o sistema. Logo, em um sistema isolado em equilíbrio, a entropia é máxima (entropia pode ser considerada como uma medida da desordem: uma maior desordem, maior desinformação e, portanto, um valor inferior de I.

Esta função de informação é a mesma que a função entropia reduzida em termodinâmica..

Mark Srednicki argumentou que o postulado fundamental pode ser derivado, assumindo apenas que a conjectura de Berry (em homenagem a Michael Berry ) aplica-se ao sistema em questão.^[8][9] A conjectura de Berry é apenas para sistemas caóticos, e quando os autoestados tem sua energia distribuída como uma distribuição normal. Como todos os sistemas realistas tem um punhado de graus de liberdade então estes deverão ser caótico, o que converge para o postulado fundamental. A conjectura de Berry também tem sido demonstrada na teoria da informação pelo princípio do viés.^[10]

Ensembles canônicos

A formulação moderna desta teoria é baseada na descrição de um sistema físico ter um elenco de comum de estados representando todas as configurações possíveis e as probabilidades de ocorrência de cada uma das configurações.

Cada estado está associado a uma função de partição , por manipulações matemáticas, para que então se extraia os valores termodinâmicos do sistema. De acordo com a relação do sistema com o resto do universo, são normalmente identificados três tipos de estados, em ordem crescente de complexidade:

• Ensemble microcanônico descreve um estado completamente isolado, que possui uma energia constante, não trocando energia ou partículas com o resto do Universo;
• Ensemble canônico descreve um sistema em equilíbrio térmico que só pode trocar energia como a transferência de calor para o exterior;
• Ensemble grande canônico descreve sistemas abertos que permitem a troca de partículas com o exterior.

Resumo dos ensembles	Ensembles
	Ensemble microcanônico	Ensemble canônico	Ensemble grande canônico
Constantes	E, N, V	T, N, V	T, μ, V
Características microscópicas	Número de microestados ${\displaystyle \Omega }$	Função de partição canônica ${\displaystyle Z=\sum _{k}e^{-\beta E_{k}}}$	Grande função de partição canônica ${\displaystyle \Xi =\sum _{k}e^{-\beta (E_{k}-\mu N_{k})}}$
Funções macroscópicas	${\displaystyle S=k_{B}\ln \Omega }$	${\displaystyle F=-k_{B}T\ln Z}$	${\displaystyle F-\mu N=-k_{B}T\ln \Xi }$

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Passeios aleatórios

O estudo de uma cadeia longa polímeros tem sido uma fonte de problemas dentro dos domínios da mecânica estatística desde meados de 1950. Uma das razões pela qual os cientistas estavam interessados nesse estudo é que as equações que governam o comportamento de uma cadeia de polímeros são independentes da cadeia química. A equação governante acaba por ser um passeio aleatório no espaço. Com isso, a equação de Schrödinger é em si uma equação de difusão no tempo imaginário, t '= it.

Termodinâmica clássica versus termodinâmica estatística

Por exemplo, a partir da termodinâmica clássica, e de um sistema termodinâmico de moléculas de gás, tais como amoníaco NH 3, como determinar a energia livre característica do composto? A termodinâmica clássica não fornece a resposta. Se, por exemplo, recebemos dados espectroscópicos, das moléculas de gás, tais como comprimento de ligação, ângulo de ligação, possibilidade de rotação e flexibilidade das moléculas de NH 3, devemos ver que a energia livre não poderia ser determinada. Para provar isso, precisamos fazer uma ponte entre o reino microscópico dos átomos e moléculas e a esfera macroscópica da termodinâmica clássica. Com a física estatística e a mecânica quântica montamos a ponte, aprendendo a conceber um sistema termodinâmico como um conjunto de unidades. Mais especificamente, demonstramos como os parâmetros termodinâmicos de um sistema, tais como a temperatura e pressão, são interpretados em termos das propriedades descritivas de seus átomos ou moléculas.^[11]

Em um sistema delimitado, a característica fundamental destas unidades microscópicas é que as suas energias são quantizadas . Isto é, as energias de qualquer um dos seus componentes sub-microscópicos estão limitadas a um conjunto descontínuo de alternativas associadas com valores inteiros de algum número quântico.

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onde ${\displaystyle R}$ é a constante universal dos gases e ${\displaystyle T}$ é a temperatura.

A física estatística é o ramo da física que usa métodos da teoria das probabilidades e estatística e, particularmente, as ferramentas matemáticas para lidar com grandes populações e aproximações, na solução de problemas físicos. Pode descrever uma grande variedade de campos com uma natureza inerentemente estocástica. Suas aplicações incluem muitos problemas nos campos da física, biologia, química, neurologia e até mesmo em algumas ciências sociais, como a sociologia. Seu principal objetivo é esclarecer as propriedades da matéria sob conjuntos, em termos de leis físicas que regem o movimento atômico.^[1]

Em particular, a mecânica estatística desenvolve os resultados fenomenológicos da termodinâmica a partir de uma análise probabilística dos sistemas de base microscópica. Historicamente, um dos primeiros tópicos da física onde foram aplicados métodos estatísticos foi o campo da mecânica, que se preocupa com o movimento de partículas ou objetos quando submetidos a uma força.

Índice

• 1Mecânica estatística
• 2Ver também
• 3Referências
• 4Leitura adicional

Mecânica estatística

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A mecânica estatística fornece um quadro que relaciona as propriedades microscópicas de átomos e moléculas com as propriedades macroscópicas ou extensivas de materiais que podem ser observados na vida cotidiana. Portanto, ela explica a termodinâmica como um resultado natural da estatística, mecânica clássica e mecânica quântica ao nível microscópico. Por causa desta história, a física estatística é muitas vezes considerada como sinônimo de mecânica estatística ou termodinâmica estatística.

Uma das equações mais importantes da mecânica estatística (análogo à F = ma em mecânica, ou a equação de Schrödinger na mecânica quântica) é a definição da função de partição Z, que é essencialmente uma soma ponderada de todos os possíveis estados q disponíveis para um sistema .

${\displaystyle Z=\sum _{q}{\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}}$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

onde ${\displaystyle k_{B}}$ é a constante de Boltzmann, T é a temperatura e E(q) é a energia do estado q. Além disso, a probabilidade de um determinado estado q ocorrer é dada por

${\displaystyle P(q)={\frac {\mathrm {e} ^{-{\frac {E(q)}{k_{B}T}}}}{Z}}}$

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sistema indeterminístico Graceli ; SISTEMA GRACELI INFINITO-DIMENSIONAL

Aqui, vemos que os estados de energia muito alta têm pouca probabilidade de ocorrência, um resultado que é consistente com a intuição.

A abordagem estatística pode funcionar bem em sistemas clássicos quando o número de graus de liberdade (e assim o número de variáveis​​) é tão grande que a solução exata não é possível, ou não é realmente útil. A mecânica estatística também pode descrever o trabalho na dinâmica não-linear, teoria do caos, física térmica, dinâmica dos fluidos (particularmente nos números de Knudsen elevados) e física de plasmas.

Embora alguns problemas em física estatística possam ser resolvidos analiticamente por meio de aproximações e expansões, as pesquisas mais atuais utilizam o poder de processamento de computadores modernos para simular ou aproximar soluções. Uma abordagem comum para problemas estatísticos é usar uma simulação de Monte Carlo para produzir uma ideia da dinâmica de um sistema complexo.